05.1 正规方程法

5.1 正规方程解法⚓︎

英文名是 Normal Equations。

对于线性回归问题，除了前面提到的最小二乘法可以解决一元线性回归的问题外，也可以解决多元线性回归问题。

对于多元线性回归，可以用正规方程来解决，也就是得到一个数学上的解析解。它可以解决下面这个公式描述的问题：

\[y=a_0+a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_kx_k \tag{1}\]

5.1.1 简单的推导方法⚓︎

在做函数拟合（回归）时，我们假设函数 $H$ 为：

\[H(w,b) = b + x_1 w_1+x_2 w_2+ \dots +x_n w_n \tag{2}\]

令 $b=w_0$，则：

\[H(W) = w_0 + x_1 \cdot w_1 + x_2 \cdot w_2 + \dots + x_n \cdot w_n\tag{3}\]

公式3中的 $x$ 是一个样本的 $n$ 个特征值，如果我们把 $m$ 个样本一起计算，将会得到下面这个矩阵：

\[H(W) = X \cdot W \tag{4}\]

公式5中的 $X$ 和 $W$ 的矩阵形状如下：

\[ X = \begin{pmatrix} 1 & x_{1,1} & x_{1,2} & \dots & x_{1,n} \\\\ 1 & x_{2,1} & x_{2,2} & \dots & x_{2,n} \\\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ 1 & x_{m,1} & x_{m,2} & \dots & x_{m,n} \end{pmatrix} \tag{5} \]

\[ W= \begin{pmatrix} w_0 \\\\ w_1 \\\\ \vdots \\\\ w_n \end{pmatrix} \tag{6} \]

然后我们期望假设函数的输出与真实值一致，则有：

\[H(W) = X \cdot W = Y \tag{7}\]

其中，Y的形状如下：

\[ Y= \begin{pmatrix} y_1 \\\\ y_2 \\\\ \vdots \\\\ y_m \end{pmatrix} \tag{8} \]

直观上看，$W = Y/X$，但是这里三个值都是矩阵，而矩阵没有除法，所以需要得到 $X$ 的逆矩阵，用 $Y$ 乘以 $X$ 的逆矩阵即可。但是又会遇到一个问题，只有方阵才有逆矩阵，而 $X$ 不一定是方阵，所以要先把左侧变成方阵，就可能会有逆矩阵存在了。所以，先把等式两边同时乘以 $X$ 的转置矩阵，以便得到 $X$ 的方阵：

\[X^{\top} X W = X^{\top} Y \tag{9}\]

其中，$X^{\top}$ 是 $X$ 的转置矩阵，$X^{\top}X$ 一定是个方阵，并且假设其存在逆矩阵，把它移到等式右侧来：

\[W = (X^{\top} X)^{-1}{X^{\top} Y} \tag{10}\]

至此可以求出 $W$ 的正规方程。

5.1.2 复杂的推导方法⚓︎

我们仍然使用均方差损失函数（略去了系数$\frac{1}{2m}$）：

\[J(w,b) = \sum_{i=1}^m (z_i - y_i)^2 \tag{11}\]

把 $b$ 看作是一个恒等于 $1$ 的feature，并把 $Z=XW$ 计算公式带入，并变成矩阵形式：

\[J(W) = \sum_{i=1}^m \left(\sum_{j=0}^nx_{ij}w_j -y_i\right)^2=(XW - Y)^{\top} \cdot (XW - Y) \tag{12}\]

对 $W$ 求导，令导数为 $0$，可得到 $W$ 的最小值解：

\[ \begin{aligned} \frac{\partial J(W)}{\partial W} &= \frac{\partial}{\partial W}[(XW - Y)^{\top} \cdot (XW - Y)] \\\\ &=\frac{\partial}{\partial W}[(W^{\top}X^{\top} - Y^{\top}) \cdot (XW - Y)] \\\\ &=\frac{\partial}{\partial W}[(W^{\top}X^{\top}XW -W^{\top}X^{\top}Y - Y^{\top}XW + Y^{\top}Y)] \end{aligned} \tag{13} \]

求导后（请参考矩阵/向量求导公式）：

第一项的结果是：$2X^{\top}XW$（分母布局，denominator layout）

第二项的结果是：$X^{\top}Y$（分母布局方式，denominator layout）

第三项的结果是：$X^{\top}Y$（分子布局方式，numerator layout，需要转置$Y^{\top}X$）

第四项的结果是：$0$

再令导数为 $0$：

\[ \frac{\partial J}{\partial W}=2X^{\top}XW - 2X^{\top}Y=0 \tag{14} $$ $$ X^{\top}XW = X^{\top}Y \tag{15} $$ $$ W=(X^{\top}X)^{-1}X^{\top}Y \tag{16} \]

结论和公式10一样。

以上推导的基本公式可以参考第0章的公式60-69。

逆矩阵 $(X^{\top}X)^{-1}$ 可能不存在的原因是：

特征值冗余，比如 $x_2=x^2_1$，即正方形的边长与面积的关系，不能作为两个特征同时存在；
特征数量过多，比如特征数 $n$ 比样本数 $m$ 还要大。

以上两点在我们这个具体的例子中都不存在。

5.1.3 代码实现⚓︎

我们把表5-1的样本数据带入方程内。根据公式(5)，我们应该建立如下的 $X,Y$ 矩阵：

\[ X = \begin{pmatrix} 1 & 10.06 & 60 \\\\ 1 & 15.47 & 74 \\\\ 1 & 18.66 & 46 \\\\ 1 & 5.20 & 77 \\\\ \vdots & \vdots & \vdots \\\\ \end{pmatrix} \tag{17} \]

\[ Y= \begin{pmatrix} 302.86 \\\\ 393.04 \\\\ 270.67 \\\\ 450.59 \\\\ \vdots \\\\ \end{pmatrix} \tag{18} \]

根据公式(10)：

\[W = (X^{\top} X)^{-1}{X^{\top} Y} \tag{19}\]

$X$ 是 $1000\times 3$ 的矩阵，$X$ 的转置是 $3\times 1000$，$X^{\top}X$ 生成 $3\times 3$ 的矩阵；
$(X^{\top}X)^{-1}$ 也是 $3\times 3$ 的矩阵；
再乘以 $X^{\top}$，即 $3\times 3$ 的矩阵乘以 $3\times 1000$ 的矩阵，变成 $3\times 1000$ 的矩阵；
再乘以 $Y$，$Y$是 $1000\times 1$ 的矩阵，所以最后变成 $3\times 1$ 的矩阵，成为 $W$ 的解，其中包括一个偏移值 $b$ 和两个权重值 $w$，3个值在一个向量里。

if __name__ == '__main__':
    reader = SimpleDataReader()
    reader.ReadData()
    X,Y = reader.GetWholeTrainSamples()
    num_example = X.shape[0]
    one = np.ones((num_example,1))
    x = np.column_stack((one, (X[0:num_example,:])))
    a = np.dot(x.T, x)
    # need to convert to matrix, because np.linalg.inv only works on matrix instead of array
    b = np.asmatrix(a)
    c = np.linalg.inv(b)
    d = np.dot(c, x.T)
    e = np.dot(d, Y)
    #print(e)
    b=e[0,0]
    w1=e[1,0]
    w2=e[2,0]
    print("w1=", w1)
    print("w2=", w2)
    print("b=", b)
    # inference
    z = w1 * 15 + w2 * 93 + b
    print("z=",z)

5.1.4 运行结果⚓︎

w1= -2.0184092853092226
w2= 5.055333475112755
b= 46.235258613837644
z= 486.1051325196855

我们得到了两个权重值和一个偏移值，然后得到房价预测值 $z=486$ 万元。

至此，我们得到了解析解。我们可以用这个做为标准答案，去验证我们的神经网络的训练结果。

代码位置⚓︎

ch05, Level1