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第3章 损失函数⚓︎

3.0 损失函数概论⚓︎

3.0.1 概念⚓︎

在各种材料中经常看到的中英文词汇有:误差,偏差,Error,Cost,Loss,损失,代价......意思都差不多,在本书中,使用“损失函数”和“Loss Function”这两个词汇,具体的损失函数符号用 \(J\) 来表示,误差值用 \(loss\) 表示。

“损失”就是所有样本的“误差”的总和,亦即(\(m\) 为样本数):

\[损失 = \sum^m_{i=1}误差_i\]
\[J = \sum_{i=1}^m loss_i\]

在黑盒子的例子中,我们如果说“某个样本的损失”是不对的,只能说“某个样本的误差”,因为样本是一个一个计算的。如果我们把神经网络的参数调整到完全满足独立样本的输出误差为 \(0\),通常会令其它样本的误差变得更大,这样作为误差之和的损失函数值,就会变得更大。所以,我们通常会在根据某个样本的误差调整权重后,计算一下整体样本的损失函数值,来判定网络是不是已经训练到了可接受的状态。

损失函数的作用⚓︎

损失函数的作用,就是计算神经网络每次迭代的前向计算结果与真实值的差距,从而指导下一步的训练向正确的方向进行。

如何使用损失函数呢?具体步骤:

  1. 用随机值初始化前向计算公式的参数;
  2. 代入样本,计算输出的预测值;
  3. 用损失函数计算预测值和标签值(真实值)的误差;
  4. 根据损失函数的导数,沿梯度最小方向将误差回传,修正前向计算公式中的各个权重值;
  5. 进入第2步重复, 直到损失函数值达到一个满意的值就停止迭代。

3.0.2 机器学习常用损失函数⚓︎

符号规则:\(a\) 是预测值,\(y\) 是样本标签值,\(loss\) 是损失函数值。

  • Gold Standard Loss,又称0-1误差 $$ loss=\begin{cases} 0 & a=y \\ 1 & a \ne y \end{cases} $$

  • 绝对值损失函数

\[ loss = |y-a| \]
  • Hinge Loss,铰链/折页损失函数或最大边界损失函数,主要用于SVM(支持向量机)中
\[ loss=\max(0,1-y \cdot a) \qquad y=\pm 1 \]
  • Log Loss,对数损失函数,又叫交叉熵损失函数(cross entropy error)
\[ loss = -[y \cdot \ln (a) + (1-y) \cdot \ln (1-a)] \qquad y \in \\{ 0,1 \\} \]
  • Squared Loss,均方差损失函数 $$ loss=(a-y)^2 $$

  • Exponential Loss,指数损失函数 $$ loss = e^{-(y \cdot a)} $$

3.0.3 损失函数图像理解⚓︎

用二维函数图像理解单变量对损失函数的影响⚓︎

图3-1 单变量的损失函数图

图3-1中,纵坐标是损失函数值,横坐标是变量。不断地改变变量的值,会造成损失函数值的上升或下降。而梯度下降算法会让我们沿着损失函数值下降的方向前进。

  1. 假设我们的初始位置在 \(A\) 点,\(x=x_0\),损失函数值(纵坐标)较大,回传给网络做训练;
  2. 经过一次迭代后,我们移动到了 \(B\) 点,\(x=x_1\),损失函数值也相应减小,再次回传重新训练;
  3. 以此节奏不断向损失函数的最低点靠近,经历了 \(x_2,x_3,x_4,x_5\)
  4. 直到损失值达到可接受的程度,比如 \(x_5\) 的位置,就停止训练。

用等高线图理解双变量对损失函数影响⚓︎

图3-2 双变量的损失函数图

图3-2中,横坐标是一个变量 \(w\),纵坐标是另一个变量 \(b\)。两个变量的组合形成的损失函数值,在图中对应处于等高线上的唯一的一个坐标点。\(w,b\) 所有不同值的组合会形成一个损失函数值的矩阵,我们把矩阵中具有相同(相近)损失函数值的点连接起来,可以形成一个不规则椭圆,其圆心位置,是损失值为 \(0\) 的位置,也是我们要逼近的目标。

这个椭圆如同平面地图的等高线,来表示的一个洼地,中心位置比边缘位置要低,通过对损失函数值的计算,对损失函数的求导,会带领我们沿着等高线形成的梯子一步步下降,无限逼近中心点。

3.0.4 神经网络中常用的损失函数⚓︎

  • 均方差函数,主要用于回归

  • 交叉熵函数,主要用于分类

二者都是非负函数,极值在底部,用梯度下降法可以求解。