02.2 非线性反向传播
2.2 非线性反向传播⚓︎
2.2.1 提出问题⚓︎
在上面的线性例子中，我们可以发现，误差一次性地传递给了初始值 \(w\) 和 \(b\)，即，只经过一步，直接修改 \(w\) 和 \(b\) 的值，就能做到误差校正。因为从它的计算图看，无论中间计算过程有多么复杂，它都是线性的，所以可以一次传到底。缺点是这种线性的组合最多只能解决线性问题，不能解决更复杂的问题。这个我们在神经网络基本原理中已经阐述过了，需要有激活函数连接两个线性单元。
下面我们看一个非线性的例子，如图2-8所示。
图2-8 非线性的反向传播
其中\(1<x<=10,0<y<2.15\)。假设有5个人分别代表 \(x,a,b,c,y\)：
正向过程⚓︎
- 第1个人，输入层，随机输入第一个 \(x\) 值，\(x\) 的取值范围 \((1,10]\)，假设第一个数是 \(2\)；
- 第2个人，第一层网络计算，接收第1个人传入 \(x\) 的值，计算：\(a=x^2\)；
- 第3个人，第二层网络计算，接收第2个人传入 \(a\) 的值，计算：\(b=\ln (a)\)；
- 第4个人，第三层网络计算，接收第3个人传入 \(b\) 的值，计算：\(c=\sqrt{b}\)；
- 第5个人，输出层，接收第4个人传入 \(c\) 的值
反向过程⚓︎
- 第5个人，计算 \(y\) 与 \(c\) 的差值：\(\Delta c = c - y\)，传回给第4个人
- 第4个人，接收第5个人传回\(\Delta c\)，计算 \(\Delta b = \Delta c \cdot 2\sqrt{b}\)
- 第3个人，接收第4个人传回\(\Delta b\)，计算 \(\Delta a = \Delta b \cdot a\)
- 第2个人，接收第3个人传回\(\Delta a\)，计算 \(\Delta x = \frac{\Delta}{2x}\)
- 第1个人，接收第2个人传回\(\Delta x\)，更新 \(x \leftarrow x - \Delta x\)，回到第1步
提出问题：假设我们想最后得到 \(c=2.13\) 的值，\(x\) 应该是多少？（误差小于 \(0.001\) 即可）
2.2.2 数学解析解⚓︎
\[
c=\sqrt{b}=\sqrt{\ln(a)}=\sqrt{\ln(x^2)}=2.13
\]
\[
x = 9.6653
\]
2.2.3 梯度迭代解⚓︎
\[
\frac{da}{dx}=\frac{d(x^2)}{dx}=2x=\frac{\Delta a}{\Delta x} \tag{1}
\]
\[
\frac{db}{da} =\frac{d(\ln{a})}{da} =\frac{1}{a} = \frac{\Delta b}{\Delta a} \tag{2}
\]
\[
\frac{dc}{db}=\frac{d(\sqrt{b})}{db}=\frac{1}{2\sqrt{b}}=\frac{\Delta c}{\Delta b} \tag{3}
\]
因此得到如下一组公式，可以把最后一层 \(\Delta c\) 的误差一直反向传播给最前面的 \(\Delta x\)，从而更新 \(x\) 值：
\[
\Delta c = c - y \tag{4}
\]
根据式3
\[
\Delta b = \Delta c \cdot 2\sqrt{b}
\]
根据式2
\[
\Delta a = \Delta b \cdot a
\]
根据式1
\[
\Delta x = \Delta a / 2x
\]
我们给定初始值 \(x=2\)，\(\Delta x=0\)，依次计算结果如表2-2。
表2-2 正向与反向的迭代计算
| 方向 | 公式 | 迭代1 | 迭代2 | 迭代3 | 迭代4 | 迭代5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 正向 | \(x=x-\Delta x\) | 2 | 4.243 | 7.344 | 9.295 | 9.665 |
| 正向 | \(a=x^2\) | 4 | 18.005 | 53.934 | 86.404 | 93.233 |
| 正向 | \(b=\ln(a)\) | 1.386 | 2.891 | 3.988 | 4.459 | 4.535 |
| 正向 | \(c=\sqrt{b}\) | 1.177 | 1.700 | 1.997 | 2.112 | 2.129 |
| 标签值y | 2.13 | 2.13 | 2.13 | 2.13 | 2.13 | |
| 反向 | \(\Delta c = c - y\) | -0.953 | -0.430 | -0.133 | -0.018 | |
| 反向 | \(\Delta b = \Delta c \cdot 2\sqrt{b}\) | -2.243 | -1.462 | -0.531 | -0.078 | |
| 反向 | \(\Delta a = \Delta b \cdot a\) | -8.973 | -26.317 | -28.662 | -6.698 | |
| 反向 | \(\Delta x = \Delta a / 2x\) | -2.243 | -3.101 | -1.951 | -0.360 |
表2-2，先看“迭代-1”列，从上到下是一个完整的正向+反向的过程，最后一行是 \(-2.243\)，回到“迭代-2”列的第一行，\(2-(-2.243)=4.243\)，然后继续向下。到第5轮时，正向计算得到的 \(c=2.129\)，非常接近 \(2.13\) 了，迭代结束。
运行示例代码可以得到如下结果：
how to play: 1) input x, 2) calculate c, 3) input target number but not faraway from c
input x as initial number(1.2,10), you can try 1.3:
2
c=1.177410
input y as target number(0.5,2), you can try 1.8:
2.13
forward...
x=2.000000,a=4.000000,b=1.386294,c=1.177410
backward...
delta_c=-0.952590, delta_b=-2.243178, delta_a=-8.972712, delta_x=-2.243178
......
forward...
x=9.655706,a=93.232666,b=4.535098,c=2.129577
backward...
done!
为节省篇幅只列出了第一步和最后一步（第5步）的结果，第一步时c=1.177410，最后一步时c=2.129577，停止迭代。
代码位置⚓︎
ch02, Level2